บทนำ
ในปัจจุบันเนื่องจากพลังของการคำนวณที่เพิ่มขึ้นของคอมพิวเตอร์ขั้นสูง ช่วยส่งเสริมให้ความสนใจในเทคนิคเชิงตัวเลขเพิ่มขึ้นอย่างมาก การแก้สมการของกลศาสตร์ของไหลบนคอมพิวเตอร์มีความสำคัญมากจนในปัจจุบันได้รับความสนใจจากนักวิจัยหนึ่งในสามในกลศาสตร์ของไหล และสัดส่วนยังคงเพิ่มขึ้น สาขานี้เรียกว่าการคำนวณพลศาสตร์ของไหล (CFD) บรรจุอยู่ภายในนั้นมีคุณสมบัติย่อย ๆ มากมาย เราจะพูดถึงวิธีการย่อยเพียงเล็กน้อยสำหรับการแก้สมการที่อธิบายการไหลของของไหลและปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้อง
อะไรคือ CFD
กระแสและปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนซึ่งไม่สามารถแก้ไขได้ในเชิงวิเคราะห์ยกเว้นในกรณีพิเศษ เพื่อให้ได้คำตอบโดยประมาณเชิงตัวเลขเราต้องใช้วิธีการแยกส่วนที่ใกล้เคียงกับสมการเชิงอนุพันธ์โดยระบบของสมการพีชคณิตซึ่งสามารถแก้ไขได้ในคอมพิวเตอร์
การประมาณจะใช้กับโดเมนขนาดเล็กในอวกาศและ / หรือเวลาดังนั้นโซลูชันเชิงตัวเลขจะให้ผลลัพธ์ในตำแหน่งที่ไม่ต่อเนื่องในอวกาศและเวลา ความถูกต้องของข้อมูลการทดลองขึ้นอยู่กับคุณภาพของเครื่องมือที่ใช้ความแม่นยำของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขนั้นขึ้นอยู่กับคุณภาพของการแยกส่วนที่ใช้ บรรจุอยู่ภายในสนามกว้างของการคำนวณพลศาสตร์ของไหลคือกิจกรรมที่ครอบคลุมตั้งแต่ระบบอัตโนมัติของวิธีการออกแบบทางวิศวกรรมที่ได้รับการยอมรับมาเป็นอย่างดีไปจนถึงการใช้คำตอบโดยละเอียดของสมการเนเวียร์ - สโตกส์
แนวทางการ Discretization
Finite Difference Method:
ขั้นตอนพื้นฐานของ Finite Difference Method:
- เพื่อที่จะแก้ปัญหา PDE ที่กำหนดโดยวิธีการเชิงตัวเลขค่าดิฟเฟอเรนเชียลบางส่วนของตัวแปรตามใน PDE จะต้องถูกประมาณด้วยความสัมพันธ์ที่แตกต่างกันแน่นอน (สมการพีชคณิต)
- วิธีการแก้ปัญหาของ PDE ที่มั่นคงในโดเมนสี่เหลี่ยมสองมิติพร้อมเงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขต
- การแบ่งโดเมนในตาข่ายเแบบโครงสร้าง / ไม่สม่ำเสมอ
วิธีการประมาณผลต่างอันตะ จำกัด
- การขยายซีรี่ส์เทย์เลอร์
- ผลต่างอันตะ จำกัด โดย Polynomials
Finite Volume Method: (FV Method)
ขั้นตอนพื้นฐานของ Finite Volume Method:
- Divide the continuous domain into a number of discrete subdomains (control volumes) by a grid. The grid defines the boundaries of a control volume, while the computational node lies at the center of each control volume.
- สำหรับแต่ละโดเมนย่อยให้หาสมการพีชคณิตจากสมการเชิงอนุพันธ์
- รับระบบสมการพีชคณิตจากด้านบน
- แก้ไขระบบข้างต้นของสมการพีชคณิตเพื่อให้ได้ค่าของตัวแปรตามที่จุดแยกที่ระบุ (โหนดคำนวณ)
แบบจำลองมักใช้เพื่ออธิบายการไหลของพื้นผิวอิสระขึ้นอยู่กับสมการ Saint-Venant สองมิติ แบบจำลองที่รู้จักกันดีเหล่านี้ในสมการวรรณกรรมได้มาจากการบูรณาการสมการเนเวียร์ - สโตกส์ในแนวดิ่งภายใต้สมมติฐานของแรงดันสถิตและความเร็วเฉลี่ยในระดับแนวตั้ง ข้อตกลงจากความปั่นป่วนความหนืดและแรงโคริโอลิสไม่ได้ถูกนำมาพิจารณาในการศึกษานี้ ระบบสามารถตั้งค่าเป็นรูปแบบอนุรักษ์นิยม:
โดยที่ u และ v คือความเร็วน้ำเฉลี่ยเชิงลึกในทิศทาง x และ y, h ความลึกของน้ำ, g ความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วง, Sox และ Soy ตามลำดับลาดตามทิศทาง x และ y พวกมันถูกกำหนดโดย Sox = dZ / dx และ Soy = dZ / dy
Discretization ของ Flux ต่างๆ
เราพิจารณาฟลักซ์ที่กระจายได้ F (x, t) ของรูปแบบ F (x, t) = - Λ (x, t) ∇u (x, t), โดยที่Λ (x, t) เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นจาก Rd ถึง Rd, และ u เป็นหนึ่งใน unknowns อย่างต่อเนื่อง (uj) j = 1, …, N ของปัญหา การแสดงออกของฟลักซ์ดังกล่าวเกิดขึ้นเมื่อใช้เช่น กฎของฟูริเยร์ (การนำความร้อน), กฎของดาร์ซี (ไหลในสื่อที่มีรูพรุน) หรือกฎของฟิค (การแพร่กระจายของสารเคมี)
ในบางกรณีอาจมีการแสดงออกอย่างเรียบง่ายอนุรักษ์นิยมและไม่ต่อเนื่องสำหรับ F (n) K, σอาจได้รับ นี่คือกรณีที่Λ (x, t) เป็นตัวดำเนินการประจำตัวและเมื่อกริดตอบสนองต่อ "คุณสมบัติมุมฉาก" ต่อไปนี้: ในการควบคุมแต่ละระดับเสียง KM มีจุดเฉพาะ xK เรียกว่า "ศูนย์กลาง" (หรือ centroid) ของ ระดับเสียงควบคุมเช่นนั้นสำหรับระดับเสียงควบคุม L ถึง K ที่มีใบหน้าทั่วไปσเส้นตรง (xK, xL) คือ orthogonal ถึงσ
In some cases, a simple, conservative, and consistent discrete expression for F(n)K,σ may be obtained. This is the case when Λ(x,t) is the identity operator and when the grid satisfies the following "orthogonal property": in each control volume KM , there exists a particular point xK, called the "center" (or centroid) of the control volume, such that, for any adjacent control volume L to K with common face σ, the straight line (xK, xL) is orthogonal to σ.
รูปที่ 2: สองวอลุ่มควบคุมที่มีใบหน้าร่วมกันซึ่งเป็นที่พอใจของคุณสมบัติมุมฉาก
คุณสมบัติมุมฉากนี้เป็นที่พึงพอใจโดยตาข่ายหลายประเภทเช่นสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, กล่องVoronoï จากนั้นนิพจน์ค่าผลต่าง จำกัด อย่างง่ายสำหรับการประมาณ
การประมาณข้อกำหนดการพาความร้อน:
พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
∂tu(x,t)+∇⋅F(u(x,t),x,t)=0.
นี่คือสมการอนุรักษ์ (1) กับ A (x, t) = u (x, t), F (x, t) = F (u (x, t), x, t) และ S (x, t) = 0 สมการการขนส่งเชิงเส้นเป็นกรณีพิเศษโดยมี F (u, x, t) = uV (x, t), และ V ถูกกำหนดจากΩ× [0, T] ถึงถ. ค่าที่ไม่รู้จักไม่ต่อเนื่องคือค่า u (n) K ซึ่งคาดว่าจะเป็นการประมาณค่าของ u ในปริมาณการควบคุมK∈M ณ เวลา t (n) ตั้งแต่การพาความร้อนไหลเป็นลำดับ 0 (ไม่มีอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง) การประมาณของมันไม่จำเป็นต้องมีข้อสันนิษฐานใด ๆ บนตาข่ายตรงกันข้ามกับฟลักซ์การแพร่ อย่างไรก็ตามฟลักซ์จะต้องประมาณอย่างระมัดระวังเพื่อให้มั่นใจเสถียรภาพ (และการบรรจบกัน) ของโครงการ พิจารณาฟลักซ์ ϕ (n) K, σผ่านส่วนต่อประสานσ ณ เวลา t (n), ซึ่งถูกมองว่าเป็นฟังก์ชั่นของการแก้ปัญหา u
การทำให้เป็นเชิงเส้นของแหล่งที่มา
หนึ่งในกฎพื้นฐาน (กฎ 3) ต้องการว่าเมื่อคำต้นฉบับนั้นเป็นเส้นตรงเป็น
\ begin {} สม
S = S_C + S_P \ phi_P, \ tag {7.6} \ label {eq: sourceTerm}
\ end {} สม
ปริมาณ \ (S_P \) ต้องไม่เป็นค่าบวก ตอนนี้เรากลับไปที่หัวข้อของการทำให้เป็นเชิงเส้นของคำที่เป็นแหล่งกำเนิดเพื่อเน้นว่าคำที่มามักเป็นสาเหตุของความแตกต่างของการวนซ้ำและการทำให้เป็นเชิงเส้นที่เหมาะสมของคำที่มานั้น
กฎ 3: เชิงเส้นเชิงลบเชิงลาดของคำที่มาหากเราพิจารณาคำจำกัดความสัมประสิทธิ์ปรากฏว่าแม้ว่าค่าสัมประสิทธิ์เพื่อนบ้านเป็นบวกค่าสัมประสิทธิ์จุดศูนย์กลาง \ (a_P \) สามารถกลายเป็นค่าลบผ่าน \ (S_P \) วาระ แน่นอนว่าสามารถหลีกเลี่ยงอันตรายได้โดยกำหนดว่า \ (S_P \) จะไม่เป็นผลบวก ดังนั้นเรากำหนดกฎข้อ 3 ดังนี้:
เมื่อคำที่มาถูกทำให้เป็นเชิงเส้นเป็น \ (\ bar {S} = S_C + S_P T_P \) สัมประสิทธิ์ \ (S_P \) จะต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ
Cited Source
[1] Hess, J.L.; A.M.O. Smith (1967). "Calculation of Potential Flow About Arbitrary Bodies". Retrieved from doi:10.1016/0376-0421(67)90003-6
[2] Carmichael, R.; Erickson, L. (1981). "PAN AIR - A higher order panel method for predicting subsonic or supersonic linear potential flows about arbitrary configurations". Retrieved from doi:10.2514/6.1981-1255
[3] Hess, J.; Friedman, D. (1983). "Analysis of complex inlet configurations using a higher-order panel method". Retrieved from doi:10.2514/6.1983-1828
[4] Raj, Pradeep; Brennan, James E. (1989). "Improvements to an Euler aerodynamic method for transonic flow analysis".Retreived from doi:10.2514/3.45717
[5] Karman, l. (1995). "SPLITFLOW - A 3D unstructured Cartesian/prismatic grid CFD code for complex geometries".Retrieved from doi:10.2514/6.1995-343
[6] Giles, M.; Drela, M.; Thompkins, Jr, W. (1985). "Newton solution of direct and inverse transonic Euler equations".Retrieved from doi:10.2514/6.1985-1530
Credits
เจตน์ ทีฆเสนีย์
ผู้เขียนมีประสบการณ์และความชำนญในการวิจัยเกี่ยวกับเครื่องยนต์สันดาป และปฏิกิริยาทางเคมีที่เกี่ยวข้อง และได้จบการศึกษาชั้นปริญญาโทจาก Drexel University (Graduate School of Engineering) วิทยานิพนธ์เกี่ยวกับ Advanced Engineering Simulation ในรัฐ Philadephia, สหรัฐอเมริกา